Question

20．已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}4-8|{x-\frac{3}{2}}|，1≤x≤2\\ \frac{1}{2}f（{\frac{x}{2}}），x＞2\end{array}\right.$，當(dāng)x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的圖象面積為S_n，則S₁+S₂+…+S_n=（　　）

• A． 2ⁿ
• B． 2n
• C． 2ⁿ⁺¹-2
• D． n²+n

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，求出三角形的高，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的圖象如圖：

當(dāng)n=1時(shí)，x∈[1，2]，此時(shí)三角形的高為f（$\frac{3}{2}$）=4，則S₁=$\frac{1}{2}$×1×4=2，
當(dāng)n=2時(shí)，x∈[2，4]，此時(shí)三角形的高為f（3）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{2}×$4=2，則S₂=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
當(dāng)n=3時(shí)，x∈[4，8]，此時(shí)三角形的高為f（6）=$\frac{1}{2}$f（3）=$\frac{1}{2}×$2=1，則S₃=$\frac{1}{2}$×4×1=2，
綜上當(dāng)x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）時(shí)，函數(shù)f（x）的最高點(diǎn)為2^3-n，與x軸圍成的面積為S_n=$\frac{1}{2}$×2^3-n×2^n-1=2．
則S₁+S₂+…+S_n=2+2+…+2=2n，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)分段函數(shù)作出函數(shù)的圖象，求出對(duì)應(yīng)三角形的高，結(jié)合三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．