Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD中點(diǎn)．
（I）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）設(shè)直線PB與平面PAD所成的角為45°，AP=2，AD=2$\sqrt{3}$，求三棱E-ACD的體積．

Answer 1

分析 （I）連接BD，交AC于F，運(yùn)用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理，即可得證；
（Ⅱ）由題意，三棱錐E-ACD的體積=三棱錐P-ACD的體積的一半．

解答 （I）證明：連接BD，交AC于F，
由E為棱PD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，
則EF∥PB，
又EF?平面EAC，PB?平面EAC，
則PB∥平面EAC；
（Ⅱ）解：由題意，三棱錐E-ACD的體積=三棱錐P-ACD的體積的一半．
∵PA⊥平面ABCD，直線PB與平面PAD所成的角為45°，AP=2，
∴AB=2，
∵AD=2$\sqrt{3}$，底面ABCD為矩形，
∴三棱錐E-ACD的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×2$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間直線和平面的位置關(guān)系，主要考查三棱錐E-ACD的體積，注意定理的條件的全面性是解題的關(guān)鍵．