Question

9．已知{a_n}是公差d=3的等差數(shù)列，且a₁，a₃，a₂成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和；
（2）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式和求和公式；
（2）對(duì)n討論，當(dāng)當(dāng)1≤n≤2，n為整數(shù)，可得T_n=-S_n；當(dāng)n≥3時(shí)，a_n＞0，即有T_n=S_n-2S₂，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）a₁，a₃，a₂成等比數(shù)列，可得
a₃²=a₁a₂，即為（a₁+2d）²=a₁（a₁+d），
即（a₁+6）²=a₁（a₁+3），解得a₁=-4，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁+（n-1）d=3n-7；
前n項(xiàng)和為S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{11}{2}$n；
（2）當(dāng)1≤n≤2，n為整數(shù)，可得|a_n|=-a_n，
T_n=-S_n=$\frac{11}{2}$n-$\frac{3}{2}$n²；
當(dāng)n≥3時(shí)，a_n＞0，即有T_n=S_n-S₂-S₂=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{11}{2}$n-2×（-5）
=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{11}{2}$n+10．
則T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{11n}{2}-\frac{3{n}^{2}}{2}，n=1，2}\\{\frac{3{n}^{2}}{2}-\frac{11}{2}n+10，n＞2，n∈N}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．