Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{ex}{{e}^{x}}$+3，g（x）=-2x²+ax-1nx（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若函數(shù)g（x）在區(qū)間（$\frac{1}{4}$，2）上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若對(duì)任意x∈（0，e），都有唯一的x₀∈[e^-4，e]．使得f（x）=g（x₀）+2x₀²成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)g（x）求導(dǎo)，由單調(diào)，確定g（x）在區(qū)間上的正負(fù)．
（2）對(duì)f（x）求導(dǎo)，計(jì)算其值域，構(gòu)造新函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化，在對(duì)a分類討論．

解答 解：（1）∵g（x）=-2x²+ax-1nx
∴g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
g′（x）=-4x+a-$\frac{1}{x}$=$\frac{-4{x}^{2}+ax-1}{x}$
∵g（x）在區(qū)間（$\frac{1}{4}$，2）上是單調(diào)函數(shù)，
∴-4x²+ax-1=0在區(qū)間（$\frac{1}{4}$，2）上無解，
即a=4x+$\frac{1}{x}$在區(qū)間（$\frac{1}{4}$，2）上無解
令h（x）=4x+$\frac{1}{x}$，知h（x）為對(duì)號(hào)函數(shù)，在區(qū)間（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，2）上單調(diào)遞增．
h（x）最小值為h（$\frac{1}{2}$）=4，端點(diǎn)值為h（$\frac{1}{4}$）=5，h（2）=$\frac{17}{2}$
∴a＜4或a＞$\frac{17}{2}$
（2）∵f′（x）=e^1-x（1-x）
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e） 上單調(diào)遞減，
又f（0）=3，f（1）=4，f（e）=e^2-e+3＞3，
∴f（x）的值域?yàn)椋?，4]，
記h（x）=g（x）+2x²=ax-lnx，m=f（x），
原問題等價(jià)于：?m∈（3，4]，存在唯一的x₀∈[e^-4，e]，使得h（x₀）=m成立．
∵h(yuǎn)′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，x∈[e^-4，e]
①當(dāng)a≤$\frac{1}{e}$時(shí)，h′（x）≤0恒成立，h（x）單調(diào)遞減，由h（x）_max=h（e^-4）=ae^-4+4≥4，
h（x）_min=h（e）=ae-1≤3，解得：0≤a≤$\frac{1}{e}$．
②當(dāng)a≥e⁴時(shí)，h′（x）≥0恒成立，h（x）單調(diào)遞增，h（x）_min=h（e^-4）=ae^-4+4＞4，不合題意，舍去．
③當(dāng)$\frac{1}{e}$＜a＜e⁴時(shí)，h（x）在[e^-4，$\frac{1}{a}$]單調(diào)遞減，在[$\frac{1}{a}$，e]上單調(diào)遞增，
且h（e^-4）=ae^-4+4＞4，h（e）=ae-1，
要滿足條件則ae-1≤3，
∴$\frac{1}{e}$＜a≤$\frac{4}{e}$．
綜上所述：a的取值范圍是[0，$\frac{4}{e}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及轉(zhuǎn)化思想．