Question

11．已知圓C經過A（1，3），B（-1，1）兩點，且圓心在直線y=x上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l經過點（2，-2），且l與圓C相交所得弦長為$2\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設圓C的圓心坐標為（a，a），利用CA=CB，建立方程，求出a，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，利用圓心到直線的距離公式，求出斜率，即可得出直線方程．

解答 解：（Ⅰ）設圓C的圓心坐標為（a，a），
依題意，有$\sqrt{{{（a-1）}^2}+{{（a-3）}^2}}=\sqrt{{{（a+1）}^2}+{{（a-1）}^2}}$，
即a²-6a+9=a²+2a+1，解得a=1，（2分）
所以r²=（1-1）²+（3-1）²=4，（4分）
所以圓C的方程為（x-1）²+（y-1）²=4．（5分）
（Ⅱ）依題意，圓C的圓心到直線l的距離為1，
所以直線x=2符合題意．（6分）
設直線l方程為y+2=k（x-2），即kx-y-2k-2=0，
則$\frac{|k+3|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解得$k=-\frac{4}{3}$，
所以直線l的方程為$y+2=-\frac{4}{3}（x-2）$，即4x+3y-2=0．（9分）
綜上，直線l的方程為x-2=0或4x+3y-2=0．（10分）

點評 本題考查圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，正確運用點到直線的距離公式是關鍵．