Question

5．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≥0}\\{x-2y+1≤0}\\{2x+y-8≤0}\end{array}\right.$，則u=$\frac{2x+3y}{x+y}$的取值范圍為$\frac{12}{5}$≤u≤$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)分式的性質(zhì)利用分子常數(shù)化，利用換元法結(jié)合直線斜率的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則x＞0，
u=$\frac{2x+3y}{x+y}$=$\frac{2+3•\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}$=$\frac{3（1+\frac{y}{x}）-1}{1+\frac{y}{x}}$=3-$\frac{1}{1+\frac{y}{x}}$，
設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率，
由圖象知，AO的斜率最小，BO的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2=0}\\{2x+y-8=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即B（2，4），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1=0}\\{2x+y-8=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（3，2），
則AO的斜率k=$\frac{2}{3}$，BO的斜率k=2，
即$\frac{2}{3}$≤k≤2，
則u=3-$\frac{1}{1+\frac{y}{x}}$=3-$\frac{1}{1+k}$在$\frac{2}{3}$≤k≤2上為增函數(shù)，
則當(dāng)k=$\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)取得最小值，u=$\frac{12}{5}$，
當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)取得最大值，u=$\frac{8}{3}$，
即$\frac{12}{5}$≤u≤$\frac{8}{3}$，
故答案為：$\frac{12}{5}$≤u≤$\frac{8}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用分式的性質(zhì)以及換元法是解決本題的關(guān)鍵．注意數(shù)形結(jié)合．