Question

20．已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)$g（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}$的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則f（x²-1）的單調(diào)減區(qū)間為（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （1，+∞）
• C． （0，1）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 由題意知函數(shù)f（x）是函數(shù)g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的反函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)的定義求出f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出f（x²-1）的單調(diào)減區(qū)間

解答 解：由題意函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱知，函數(shù)f（x）是函數(shù)g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的反函數(shù)
所以f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$
即f（x²-1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}-1）$，
令x²-1＞0，解得x＜-1，或x＞1，
又f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$是減函數(shù)，t=x²-1在（-∞，-1）上減，在（1，+∞）上增，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，f（x²-1）的單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及反函數(shù)的定義，解答的關(guān)鍵是熟練掌握反函數(shù)的定義及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則．