Question

14．如圖所示，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，$|ϕ|＜\frac{π}{2}$）的一段圖象過點（0，1）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$（橫坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）的解析式及單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，根據(jù)圖象經(jīng)過特殊點（0，1），求得A，可得函數(shù)的解析式．
（2）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的增區(qū)間求得g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答 （1）結(jié)合函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，$|ϕ|＜\frac{π}{2}$）的一段圖象，
可得$\frac{2π}{ω}$=$\frac{11π}{12}$+$\frac{π}{12}$=π，∴ω=2．
再根據(jù)五點法作圖可得2•（-$\frac{π}{12}$）+φ=0，求得φ=$\frac{π}{6}$．
再根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，1）可得Asin$\frac{π}{6}$=1，求得A=2，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$（橫坐標不變），
得到函數(shù)y=g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
故函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{3}，\;\;kπ+\frac{π}{6}]$（k∈Z）．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，根據(jù)圖象經(jīng)過特殊點（0，1），求得A，正弦函數(shù)的增區(qū)間，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求函數(shù)的解析式，屬于中檔題．