Question

7．已知點A是拋物線x²=4y的對稱軸與準線的交點，點B為拋物線的焦點，P在拋物線上且滿足|PA|=m|PB|，當m取最大值時，點P恰好在以A，B為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為$\sqrt{2}+1$．

Answer 1

分析 過P作準線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義，結(jié)合|PA|=m|PB|，可得$\frac{|PN|}{|PA|}=\frac{1}{m}$，設PA的傾斜角為α，則當m取得最大值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，求出P的坐標，利用雙曲線的定義，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：過P作準線的垂線，垂足為N，
則由拋物線的定義可得|PN|=|PB|，
∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|，則$\frac{|PN|}{|PA|}=\frac{1}{m}$，
設PA的傾斜角為α，則sinα=$\frac{1}{m}$，
當m取得最大值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，
設直線PA的方程為y=kx-1，代入x²=4y，可得x²=4（kx-1），
即x²-4kx+4=0，
∴△=16k²-16=0，∴k=±1，
∴P（2，1），
∴雙曲線的實軸長為PA-PB=2（$\sqrt{2}$-1），
∴雙曲線的離心率為$\frac{2}{2（\sqrt{2}-1）}=\sqrt{2}+1$．
故答案為：$\sqrt{2}+1$．

點評 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查雙曲線、拋物線的定義，考查學生分析解決問題的能力，解答此題的關(guān)鍵是明確當m取得最大值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，屬中檔題．