Question

18．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₆=13，a₂+a₄=14，{a_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n．
（Ⅱ）令b_n=$\frac{4}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$，（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用a₁+5d=13、2a₁+4d=14計算可得首項與公差，進而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）裂項可知b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，（n∈N^*），并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₆=13，a₂+a₄=14，
∴a₁+5d=13，2a₁+4d=14，
解得：a₁=3，d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，
S_n=3n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²+2n；
（Ⅱ）由（I）可知b_n=$\frac{4}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$=$\frac{4}{2n×2（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，（n∈N^*），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，裂項、并項相加是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．