Question

4．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}（b_n≠0，n∈N^*）滿(mǎn)足b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}•_{n}}{{a}_{n}+2_{n}}$，且a₁=b₁=1．
（1）令c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且b₃²=9b₂b₆，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）將所給條件變形，兩邊取導(dǎo)數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到所求通項(xiàng)；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公比q，求得a_n=（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）^n-1，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 解：（1）由b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}•_{n}}{{a}_{n}+2_{n}}$，可得
$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{_{n}}{{a}_{n}+2_{n}}$，
取倒數(shù)可得，$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$+2，
即有c_n+1=c_n+2，
則c_n=c₁+2（n-1）=1+2（n-1）=2n-1；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的公比為q（q＞0），
由b₃²=9b₂b₆，可得q⁴=9q•q⁵，
解得q=$\frac{1}{3}$，即有b_n=（$\frac{1}{3}$）^n-1，
則a_n=（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）^n-1，
即有數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=1•1+3•$\frac{1}{3}$+5•$\frac{1}{9}$+…+（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）^n-1，
$\frac{1}{3}$S_n=1•$\frac{1}{3}$+3•$\frac{1}{9}$+5•$\frac{1}{27}$+…+（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
兩式相減可得，$\frac{2}{3}$S_n=1+2（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+（$\frac{1}{3}$）^n-1）-（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ
=1+2•$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
化簡(jiǎn)可得前n項(xiàng)和S_n=3-$\frac{n+1}{{3}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用變形：取倒數(shù)，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，屬于中檔題．