Question

4．已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：
（1）（$\frac{a}$+$\frac{c}{a}$）（$\frac{c}$+$\frac{a}$）（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$）≥8；
（2）$\frac{b+c}{a}$+$\frac{c+a}$+$\frac{a+b}{c}$≥6．

Answer 1

分析 利用基本不等式，即可證明不等式．

解答 證明：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴（$\frac{a}$+$\frac{c}{a}$）（$\frac{c}$+$\frac{a}$）（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$）≥2$\sqrt{\frac{bc}{{a}^{2}}}$•2$\sqrt{\frac{ca}{^{2}}}$•2$\sqrt{\frac{ab}{{c}^{2}}}$=8，
當且僅當a=b=c時取等號；
（2）（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）≥$3\root{3}{abc}$•3$\root{3}{\frac{1}{abc}}$=9，當且僅當a=b=c時取等號，
∴1+$\frac{b+c}{a}$+1+$\frac{c+a}$+1+$\frac{a+b}{c}$≥9，
∴$\frac{b+c}{a}$+$\frac{c+a}$+$\frac{a+b}{c}$≥6．

點評 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，正確運用基本不等式是關鍵．