Question

17．若直線2ax+by-2=0（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²-2x-4y-1=0的面積，則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為（　�。�

• A． 5
• B． 7
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 9

Answer 1

分析 利用直線2ax+by-2=0（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²-2x-4y-1=0的面積，可得圓的圓心（1，2）在直線2ax+by-2=0（a＞0，b＞0）上，再利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可求出的最小值．

解答 解：由題意，圓的圓心（1，2）在直線2ax+by-2=0（a＞0，b＞0）上
∴2a+2b-2=0（a＞0，b＞0）
∴a+b=1
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）=5+$\frac{a}$+$\frac{4a}$≥5+2×2=9
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{4a}$，即a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$時，$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為9
故選：D．

點評 本題考查圓的對稱性，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．