Question

2．直線l與圓x²+y²=1交于P、Q兩點，P、Q的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，△OPQ的面積為$\frac{1}{2}$（O為坐標(biāo)原點），則x₁²+x₂²=1．

Answer 1

分析 當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+b，聯(lián)立方程由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=$\frac{-2kb}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{^{2}-1}{1+{k}^{2}}$，由三角形的面積可得∠POQ=90°，進(jìn)而可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，可得2b²=k²-1，代入x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，化簡可得．

解答 解：當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+b，
和圓的方程聯(lián)立消y并整理得（1+k²）x²+2kbx+b²-1=0，
由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=$\frac{-2kb}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{^{2}-1}{1+{k}^{2}}$，
∵△OPQ的面積為$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$×1×1×sin∠POQ=$\frac{1}{2}$，
∴sin∠POQ=1，∠POQ=90°，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=（1+k²）$\frac{^{2}-1}{1+{k}^{2}}$+kb$\frac{-2kb}{1+{k}^{2}}$+b²=0，
化簡可得2b²=k²-1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=$\frac{2^{2}（{k}^{2}-1）+2（1+{k}^{2}）}{（1+{k}^{2}）^{2}}$=1
驗證可得當(dāng)直線斜率不存在時，仍有x₁²+x₂²=1
故答案為：1

點評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，涉及三角形的面積公式和韋達(dá)定理以及向量的垂直，屬中檔題．