Question

已知橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為（2

2

，0），且橢圓Γ上一點(diǎn)M到其兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4

3

．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓Γ交于不同兩點(diǎn)A，B，且|AB|=3

2

．若點(diǎn)P（x₀，2）滿足|

PA

|=|

PB

|，求x₀的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知2a=4

3

，c=2

2

．由此能求出橢圓Γ的方程．
（Ⅱ）由

y=x+m x2 12 + y2 4 =1

，得4x²+6mx+3m²-12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、中垂線性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合已知條件能求出x₀的值．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由已知2a=4

3

，得a=2

3

，又c=2

2

．
∴b²=a²-c²=4．
∴橢圓Γ的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．…（4分）
（Ⅱ）由

y=x+m x2 12 + y2 4 =1

，得4x²+6mx+3m²-12=0，①…（1分）
∵直線l與橢圓Γ交于不同兩點(diǎn)A、B，
∴△=36m²-16（3m²-12）＞0，
解得m²＜16．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程①的兩根，
則x1+x2=-

3m

2

，x1x2=

3m2-12

4

．
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

2

×

9 4 m2-(3m2-12)

=

2

×

- 3 4 m2+12

．
又由|AB|=3

2

，得-

3

4

m2+12=9，解得m=±2．…（3分）
據(jù)題意知，點(diǎn)P為線段AB的中垂線與直線y=2的交點(diǎn)．
設(shè)AB的中點(diǎn)為E（x₀，y₀），則x0=

x1+x2

2

=-

3m

4

，y0=x0+m=

m

4

，
當(dāng)m=2時(shí)，E（-

3

2

，

1

2

），
∴此時(shí)，線段AB的中垂線方程為y-

1

2

=-（x+

3

2

），即y=-x-1．
令y=2，得x₀=-3．…（1分）
當(dāng)m=-2時(shí)，E（

3

2

，-

1

2

），
∴此時(shí)，線段AB的中垂線方程為y+

1

2

=-（x-

3

2

），即y=-x+1．
令y=2，得x₀=-1．…（1分）
綜上所述，x₀的值為-3或-1．…（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查點(diǎn)的橫坐標(biāo)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、中垂線性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、橢圓方程等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．