Question

9．設(shè)x₁，x₂，x₃是3個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，若x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁=-24，且x₁+x₂+x₃=-3，則x₁x₂x₃的取值范圍是（-28，80）．

Answer 1

分析 設(shè)x₁x₂x₃=t，構(gòu)造x₁，x₂，x₃是方程x³+3x²-24x-t=0的互不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)f（x）=x³+3x²-24x-t，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，由極小值小于0，極大值大于0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)x₁x₂x₃=t，由x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁=-24，且x₁+x₂+x₃=-3，
可得x₁，x₂，x₃是方程x³+3x²-24x-t=0的互不相等的實(shí)數(shù)根，
設(shè)f（x）=x³+3x²-24x-t，導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+6x-24=3（x+4）（x-2），
當(dāng)x＞2或x＜-4時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)-4＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
可得x=-4取得極大值，x=2處取得極小值．
由函數(shù)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，可得f（-4）＞0，且f（2）＜0，
即有80-t＞0，且-28-t＜0，
解得-28＜t＜80．
故答案為：（-28，80）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查取值范圍的求法，注意運(yùn)用構(gòu)造方程法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．