Question

17．若一個三棱錐中，有一條棱長為a，其余棱長均為1，則其體積F（a）取得最大值時a的值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

Answer 1

分析 由題意畫出三棱錐的圖形，取BC，AD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，求出AED的面積，然后求出棱錐的體積．

解答 解：由題意畫出棱錐的圖形，AB=BC=CD=BD=AC=1，AD=a；
取BC，AD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，
可知平面AED垂直BC，S_△AED=$\frac{1}{2}$AD•EF
EF=$\sqrt{{（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}-{（\frac{x}{2}）}^{2}}$
所以F（a）=$\frac{1}{3}$•S_△AED•BC=$\frac{1}{12}$a$\sqrt{3-{a}^{2}}$=$\frac{1}{12}$$\sqrt{3{a}^{2}-{a}^{4}}$，
令y=3a²-a⁴=3t-t²．t=a²．當(dāng)t=$\frac{3}{2}$，即a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$時，體積F（a）取得最大值．
故選：D．

點(diǎn)評 本題是基礎(chǔ)題，考查空間想象能力，計算能力，本題的關(guān)鍵是棱錐的轉(zhuǎn)化為兩個棱錐，底面AED的處理是解題的關(guān)鍵．