Question

13．若-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}$，則函數(shù)y=$\frac{2ta{n}^{2}x-3tanx}{（2tanx+3）^{2}}$的最大值為5．

Answer 1

分析 令tanx=t，則t∈[-1，1]，關(guān)于t的方程（4y-2）•t²+（12y+3）t+9y=0在[-1，1]上有解，即函數(shù)g（t）=（4y-2）•t²+（12y+3）t+9y 在[-1，1]上有零點(diǎn)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，求得y的最大值．

解答 解：∵-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}$，∴-1≤tanx≤1，
則由函數(shù)y=$\frac{2ta{n}^{2}x-3tanx}{（2tanx+3）^{2}}$=$\frac{{2tan}^{2}x-3tanx}{{4tan}^{2}x+12tanx+9}$，可得（4y-2）tan²x+（12y+3）tanx+9y=0．
令tanx=t，則t∈[-1，1]，則關(guān)于t的方程（4y-2）•t²+（12y+3）t+9y=0在[-1，1]上有解，
即函數(shù)g（t）=（4y-2）•t²+（12y+3）t+9y 在[-1，1]上有零點(diǎn)．
（1）若y=$\frac{1}{2}$，求得t=-$\frac{1}{2}$，滿足條件．
（2）若y≠0，則$\left\{\begin{array}{l}{△{=（12y+3）}^{2}-4（4y-2）•9y≥0}\\{-1≤\frac{12y+3}{2-4y}≤1}\end{array}\right.$ ①，或g（-1）g（1）≤0②．
由①可得$\left\{\begin{array}{l}{y≥-\frac{1}{16}}\\{-\frac{5}{8}≤y≤-\frac{1}{16}}\end{array}\right.$，求得y=-$\frac{1}{16}$；
由②可得（y-5）（25y+1）≤0，求得-$\frac{1}{25}$≤y≤5．
綜上可得，y的最大值為5，
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正切函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．