Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²-2|x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，若對(duì)任意的x∈[0，+∞），不等式f（x-1）≤2f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由偶函數(shù)的定義，化簡(jiǎn)整理，由恒成立思想可得a=0；
（Ⅱ）將不等式f（x-1）≤2f（x），化為（x-1）²-2|x-1-a|≤2x²-4|x-a|，即 4|x-a|-2|x-1-a|≤x²+2x-1對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，對(duì)x討論：（1）當(dāng)0≤x≤a時(shí)，（2）當(dāng)a＜x≤a+1時(shí)，（3）當(dāng)x＞a+1時(shí)，去掉絕對(duì)值，由二次函數(shù)的最值求法，可得最小值，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)可知，
對(duì)任何x都有f（-x）=f（x），
得：（-x）²-2|-x-a|=x²-2|x-a|，
即|x+a|=|x-a|對(duì)任何x恒成立，
平方得：4ax=0對(duì)任何x恒成立，
而x不恒為0，則a=0；         
 （Ⅱ）將不等式f（x-1）≤2f（x），
化為（x-1）²-2|x-1-a|≤2x²-4|x-a|，
即 4|x-a|-2|x-1-a|≤x²+2x-1（*）對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，
（1）當(dāng)0≤x≤a 時(shí)，將不等式（*）可化為 x²+4x+1-2a≥0，
對(duì)0≤x≤a上恒成立，則g（x）=x²+4x+1-2a 在（0，a]為單調(diào)遞增，
只需g（x）_min=g（0）=1-2a≥0，得0＜a≤$\frac{1}{2}$；                   
（2）當(dāng) a＜x≤a+1時(shí)，將不等式（*）可化為x²-4x+1+6a≥0，
對(duì)a＜x≤a+1上恒成立，由（1）可知0＜a≤$\frac{1}{2}$，
則h（x）=x²-4x+1+6a 在（a，a+1]為單調(diào)遞減，
只需h（x）_min=h（a+1）=a²+4a-2≥0 得：a≤-$\sqrt{6}$-2或a≥$\sqrt{6}$-2，
即：$\sqrt{6}$-2≤a≤$\frac{1}{2}$；
（3）當(dāng) x＞a+1時(shí)，將不等式（*）可化為x²+2a-3≥0對(duì)x＞a+1恒成立
則t（x）=x²+2a-3 在（a+1，+∞） 為單調(diào)遞增，
由（2）可知 $\sqrt{6}$-2≤a≤$\frac{1}{2}$都滿足要求．
綜上：實(shí)數(shù) 的取值范圍為：$\sqrt{6}$-2≤a≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的運(yùn)用，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用：解不等式，不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．