Question

2．已知過(guò)原點(diǎn)O的直線與函數(shù)y=log₉x的圖象交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B作y軸的平行線與函數(shù)y=log₃x的圖象 交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)BC∥x軸時(shí)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 可分別設(shè)A（x₁，log₉x₁），B（x₂，log₉x₂），A，B在過(guò)點(diǎn)O的直線上，從而便有$\frac{lo{g}_{9}{x}_{1}}{{x}_{1}}=\frac{lo{g}_{9}{x}_{2}}{{x}_{2}}$（1），可得到點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為log₃x₁，根據(jù)BC∥x軸便可得到log₃x₁=log₉x₂，從而可得到${x}_{2}={{x}_{1}}^{2}$，帶入（1）式便可求出x₁，即求出C點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

解答 解：如圖，設(shè)點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，由題設(shè)知，x₁＞1，x₂＞1；
∴A，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為log₉x₁，log₉x₂；
∵A，B在過(guò)點(diǎn)O的直線上；
∴$\frac{lo{g}_{9}{x}_{1}}{{x}_{1}}=\frac{lo{g}_{9}{x}_{2}}{{x}_{2}}$；
點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為（x₁，log₃x₁），（x₂，log₃x₂）；
∵BC∥x軸；
∴l(xiāng)og₃x₁=log₉x₂；
∴$lo{g}_{3}{x}_{1}=\frac{lo{g}_{3}{x}_{2}}{2}$；
∴${x}_{2}={{x}_{1}}^{2}$；
∴$\frac{lo{g}_{9}{x}_{1}}{{x}_{1}}=\frac{lo{g}_{9}{{x}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}}$；
∴x₁=2．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求直線的斜率，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．