Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足：?m，n∈N^*都有a_m•a_n=a_m+n，且a₁=2．記數(shù)列${b_n}=\frac{{{a_n}^2+{a_{2n}}}}{{{a_{2n-1}}}}$的前n項和為S_n，則S_n=4n．

Answer 1

分析 在已知遞推式中，取m=1可得數(shù)列{a_n}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，求出等比數(shù)列的通項公式，代入${b_n}=\frac{{{a_n}^2+{a_{2n}}}}{{{a_{2n-1}}}}$后得答案．

解答 解：令m=1，則由a_m•a_n=a_m+n，得
a_na₁=a_n+1，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}={a}_{1}=2$，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
則${a}_{n}={2}^{n}$，
∴${b_n}=\frac{{{a_n}^2+{a_{2n}}}}{{{a_{2n-1}}}}$=$\frac{{2}^{2n}+{2}^{2n}}{{2}^{2n-1}}=\frac{{2}^{2n+1}}{{2}^{2n-1}}=4$，
∴數(shù)列${b_n}=\frac{{{a_n}^2+{a_{2n}}}}{{{a_{2n-1}}}}$的前n項和為S_n=4n．
故答案為：4n．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，是中檔題．