Question

18．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AP⊥PD，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，點(diǎn)E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)．
求證：（1）平面PDC⊥平面PAD；
（2）EF⊥平面PDC．

Answer 1

分析 （1）由平面PAD⊥平面ABCD，又ABCD是正方形，可證CD⊥AD，CD⊥平面PAD，結(jié)合CD?平面PDC，即可證明平面PDC⊥平面PAD．
（2）連接AC，則EF∥PA，要證明EF⊥平面PDC，只需證PA⊥平面PDC即可，已知PA⊥PD，只需再證明PA⊥CD，而這需要證明CD⊥平面PAD，由（1）即可得證．

解答 證明：（1）因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
又由于ABCD是正方形，CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，
因為CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD（6分）
（2）連接AC，則F是AC的中點(diǎn)，在△CPA中，EF∥PA（9分）
∵由（1）可得CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA（12分）
又PA⊥PD，
而CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PDC，
又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC（14分）

點(diǎn)評 本題考查線面平行的判定及線面垂直的判定，而其中的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用值得注意，將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行；證明線面垂直，轉(zhuǎn)化為線線垂直，在證明線線垂直時，往往還要通過線面垂直來進(jìn)行．