Question

20．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d為整數(shù)，且a_k=k²+2，a_2k=（k+2）²，其中k為常數(shù)且k∈N^*
（1）求k及a_n
（2）設(shè)a₁＞1，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為l，公比為q（q＞0），前n項(xiàng)和為T(mén)_n，若存在正整數(shù)m，使得$\frac{{S}_{2}}{{S}_{m}}={T}_{3}$，求q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列{a_n}的公差d為整數(shù)，且a_k=k²+2，a_2k=（k+2）²，其中k為常數(shù)且k∈N^*，
可得a₁+（k-1）d=k²+2，a₁+（2k-1）d=（k+2）²，解得d=4+$\frac{2}{k}$，即可得出．
（2）由于a₁＞1，可得a_n=6n-3，S_n=3n²．而$\frac{{S}_{2}}{{S}_{m}}={T}_{3}$，可得T₃=$\frac{4}{{m}^{2}}$=1+q+q²．整理為：q²+q+1-$\frac{4}{{m}^{2}}$=0，利用△≥0，解得m，即可得出．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的公差d為整數(shù)，且a_k=k²+2，a_2k=（k+2）²，其中k為常數(shù)且k∈N^*，
∴a₁+（k-1）d=k²+2，a₁+（2k-1）d=（k+2）²，解得d=4+$\frac{2}{k}$，∵k=1或2，
∴當(dāng)k=1時(shí)，d=6，a₁=3，a_n=3+6（n-1）=6n-3；
當(dāng)k=2時(shí)，d=5，a₁=1，a_n=1+5（n-1）=5n-4．
（2）∵a₁＞1，∴a_n=6n-3，∴S_n=$\frac{n（3+6n-3）}{2}$=3n²．
∵$\frac{{S}_{2}}{{S}_{m}}={T}_{3}$，∴T₃=$\frac{12}{3{m}^{2}}$=$\frac{4}{{m}^{2}}$=1+q+q²．
整理為：q²+q+1-$\frac{4}{{m}^{2}}$=0，∵△=1-4$（1-\frac{4}{{m}^{2}}）$≥0，解得m²≤$\frac{16}{3}$，∵m∈N^*，∴m=1或2．
當(dāng)m=1時(shí)，q²+q-3=0，q＞0，解得q=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．
當(dāng)m=2時(shí)，q²+q=0，q＞0，舍去．
綜上可得：q=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、分類(lèi)討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．