Question

17．已知曲線C：|x|+|y|=m（m＞0）．
（1）若m=1，則由曲線C圍成的圖形的面積是2；
（2）曲線C與橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是2＜m＜3或$m=\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 （1）若m=1，曲線C：|x|+|y|=1，表示對(duì)角線長(zhǎng)為2的正方形，可得曲線C圍成的圖形的面積是2；
（2）橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為3，短半軸長(zhǎng)為2，2＜m＜3時(shí)，曲線C與橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$有四個(gè)不同的交點(diǎn)；再考慮相切時(shí)的情形，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）若m=1，曲線C：|x|+|y|=1，表示對(duì)角線長(zhǎng)為2的正方形，則由曲線C圍成的圖形的面積是2；
（2）橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為3，短半軸長(zhǎng)為2，2＜m＜3時(shí)，曲線C與橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$有四個(gè)不同的交點(diǎn)；
x＞0，y＞0，x+y-m=0與橢圓方程聯(lián)立，可得13x²-18mx+9m²-36=0，
∴△=（-18m）²-52（9m²-36）=0，
∵m＞0，∴m=$\sqrt{13}$．此時(shí)曲線C與橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$有四個(gè)不同的交點(diǎn)
故答案為：2，2＜m＜3或$m=\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線與方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．