Question

9．若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x+1），x∈[0，1）}\\{|x-3|-1，x∈[1，+∞）}\end{array}\right.$，則函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$的所有零點(diǎn)之和為$\root{3}{2}$-1．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式，作出函數(shù)f（x）的圖象，解方程即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴若x∈（-1，0]，則-x∈[0，1），
則f（-x）=log₂（-x+1）=-f（x），
即f（x）=-log₂（-x+1），x∈（-1，0]，
若x∈（-∞，-1]，則-x∈[1，+∞），
則f（-x）=|-x-3|-1=|x+3|-1=-f（x），
即f（x）=1-|x+3|，x∈（-∞，-1]，
作出f（x）的圖象如圖：
由g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$=0得f（x）=$\frac{1}{3}$，
由圖象知，當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，由log₂（x+1）=$\frac{1}{3}$得x+1=${2}^{\frac{1}{3}}=\root{3}{2}$，即x=$\root{3}{2}$-1，
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，由|x-3|-1=$\frac{1}{3}$得|x-3|=$\frac{4}{3}$，即x=$\frac{13}{3}$或$\frac{5}{3}$，
當(dāng)x∈（-∞，-1]時(shí)，由1-|x+3|=$\frac{1}{3}$得|x+3|=$\frac{2}{3}$，即x=-$\frac{11}{3}$或-$\frac{7}{3}$，
故所有的零點(diǎn)之和為$\frac{13}{3}$+$\frac{5}{3}$-$\frac{11}{3}$-$\frac{7}{3}$+$\root{3}{2}$-1=$\root{3}{2}$-1，
故答案為：$\root{3}{2}$-1

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．注意利用數(shù)形結(jié)合．