Question

4．在實(shí)數(shù)集R中，我們定義的大小關(guān)系“＞”為全體實(shí)數(shù)排了一個(gè)“序”．類似實(shí)數(shù)排序的定義，我們定義“點(diǎn)序”記為“＞”：已知M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂），M＞N，當(dāng)且僅當(dāng)“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”．定義兩點(diǎn)的“⊕”與“?”運(yùn)算如下：M⊕N=（x₁+x₂，y₁+y₂）    M?N=x₁x₂+y₁y₂．則下面四個(gè)命題：
①已知P（2015，2014）和Q（2014，2015），則P＞Q；
②已知P（2015，2014）和Q（x，y），若P＞Q，則x≤2015，且y≤2014；
③已知P＞Q，Q＞M，則P＞M；
④已知P＞Q，則對(duì)任意的點(diǎn)M，都有P⊕M＞Q⊕M；
⑤已知P＞Q，則對(duì)任意的點(diǎn)M，都有P?M＞Q?M．
其中真命題的序號(hào)為①③④（把真命題的序號(hào)全部寫出）．

Answer 1

分析 ①已知P（2015，2014）和Q（2014，2015），由于2015＞2014，即可判定出正誤；
②若P＞Q，則x＜2015，或x=2015，且y＜2014，即可判斷出正誤；
③設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₃，y₃），由P＞Q，可得x₁＞x₂或x₁=x₂，y₁＞y₂．由Q＞M，可得x₂＞x₃或x₂=x₃，y₂＞y₃．分類討論，即可判斷出正誤．
④設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₃，y₃），則P⊕M=（x₁+x₃，y₁+y₃），Q⊕M=（x₂+x₃，y₂+y₃）；
利用P＞Q，可得x₁＞x₂或x₁=x₂，y₁＞y₂．即可判斷出正誤．
⑤設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₃，y₃），則P?M=x₁•x₃+y₁•y₃，Q?M=x₂•x₃+y₂•y₃，由P＞Q，可得x₁＞x₂或x₁=x₂，y₁＞y₂，舉反例即可判斷出正誤．

解答 解：①∵P（2015，2014）和Q（2014，2015），2015＞2014，則P＞Q，正確；
②已知P（2015，2014）和Q（x，y），若P＞Q，則x＜2015，或x=2015，且y＜2014，因此不正確；
③設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₃，y₃），∵P＞Q，∴x₁＞x₂或x₁=x₂，y₁＞y₂．∵Q＞M，∴x₂＞x₃或x₂=x₃，y₂＞y₃．當(dāng)x₁＞x₂，且x₂＞x₃，則x₁＞x₃，∴P＞M；
若x₁=x₂，y₁＞y₂．且x₂＞x₃或x₂=x₃，y₂＞y₃．同理可得P＞M．因此正確．
④設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₃，y₃），則P⊕M=（x₁+x₃，y₁+y₃），Q⊕M=（x₂+x₃，y₂+y₃）；
∵P＞Q，∴x₁＞x₂或x₁=x₂，y₁＞y₂．∴x₁+x₃＞x₂+x₃或x₁+x₃=x₂+x₃，y₁+y₃＞y₂+y₃，∴對(duì)任意的點(diǎn)M，都有P⊕M＞Q⊕M，正確；
⑤設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₃，y₃），則P?M=x₁•x₃+y₁•y₃，Q?M=x₂•x₃+y₂•y₃，∵P＞Q，∴x₁＞x₂或x₁=x₂，y₁＞y₂，當(dāng)x₁＞x₂時(shí)，取x₁=2，x₂=-1，x₃=-3，y₁=1，y₂=-2，y₃=-3，則P?M=x₁•x₃+y₁•y₃=-6-3=-9，Q?M=x₂•x₃+y₂•y₃=3+6=9，此時(shí)P?M＞Q?M不成立；當(dāng)x₁=x₂，y₁＞y₂時(shí)，取x₁=2=x₂，x₃=-3，y₁=1，y₂=-2，y₃=-3，則P?M=x₁•x₃+y₁•y₃=-6-3=-9，Q?M=x₂•x₃+y₂•y₃=-6+6=0，此時(shí)P?M＞Q?M不成立，因此不正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義“序”及其新運(yùn)算，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．