Question

8．函數(shù)f（x）在[a，b]上有定義，若對(duì)任意x₁，x₂∈[a，b]，有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{1}{2}[f（{x_1}）+f（{x_2}）]$，則稱f（x）在[a，b]上具有性質(zhì)P．設(shè)f（x）在[1，3]上具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下命題：
①f（x）在[1，3]上的圖象是連續(xù)不斷的；
②f（x²）在$[1，\;\sqrt{3}]$上具有性質(zhì)P；
③若f（x）在x=2處取得最大值1，則f（x）=1，x∈[1，3]；
④任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}}}{4}）≤\frac{1}{4}[f（{x_1}）+f（{x_2}）+f（{x_3}）+f（{x_4}）]$．
其中真命題的序號(hào)是（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 ①反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x∈[1，3）}\\{2，x=3}\end{array}\right.$，即可判斷出正誤；
②不正確，反例：取函數(shù)f（x）=-x，在[1，3]上具有性質(zhì)P；即可判斷出f（x²）=-x²，在$[1，\;\sqrt{3}]$上不具有性質(zhì)P；
③?x∈[1，3]，1=f（2）=$f（\frac{x+（4-x）}{2}）$≤$\frac{1}{2}[f（x）+f（4-x）]$．可得$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+f（4-x）≥2}\\{f（x）≤f（x）_{max}=1}\\{f（4-x）≤f（x）_{max}=1}\end{array}\right.$，即可得出．
④任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$∈[1，3]，可得$f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）$≤$\frac{1}{2}（f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}））$，$f（\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}）$$≤\frac{1}{2}[f（{x}_{3}）+f（{x}_{4}）]$．即可得出：$f（\frac{{{x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}}}{4}）≤\frac{1}{4}[f（{x_1}）+f（{x_2}）+f（{x_3}）+f（{x_4}）]$，進(jìn)而判斷出正誤．

解答 解：設(shè)f（x）在[1，3]上具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下命題：
①不正確，反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x∈[1，3）}\\{2，x=3}\end{array}\right.$，在[1，3]上滿足性質(zhì)P，但是f（x）在[1，3]上的圖象不是連續(xù)不斷的；
②不正確，反例：取函數(shù)f（x）=-x，在[1，3]上具有性質(zhì)P；而f（x²）=-x²，在$[1，\;\sqrt{3}]$上不具有性質(zhì)P；
③?x∈[1，3]，1=f（2）=$f（\frac{x+（4-x）}{2}）$≤$\frac{1}{2}[f（x）+f（4-x）]$．∴$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+f（4-x）≥2}\\{f（x）≤f（x）_{max}=1}\\{f（4-x）≤f（x）_{max}=1}\end{array}\right.$，∴f（x）=f（4-x）=1，因此正確．
④任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$∈[1，3]，∴$f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）$≤$\frac{1}{2}（f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}））$，$f（\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}）$$≤\frac{1}{2}[f（{x}_{3}）+f（{x}_{4}）]$．∴$f（\frac{{{x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}}}{4}）≤\frac{1}{4}[f（{x_1}）+f（{x_2}）+f（{x_3}）+f（{x_4}）]$，正確．
其中真命題的序號(hào)是③④．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“凹函數(shù)”的性質(zhì)及其應(yīng)用、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．