Question

9．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB的中點(diǎn)．求：
（1）異面直線BD₁與CE所成角的余弦值；
（2）點(diǎn)A到平面A₁EC的距離．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)DC至G，使CG=$\frac{1}{2}$DC，連結(jié)BG、D₁G，得出四邊形EBGC是平行四邊形，找出∠D₁BG就是異面直線BD₁與CE所成的角，求出它的余弦值；
（2）過(guò)A₁作A₁H⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于H．連結(jié)AH，求出AH的值，再利用等積法求出點(diǎn)A到平面A₁EC的距離．

解答 解：（1）如圖①所示；
延長(zhǎng)DC至G，使CG=$\frac{1}{2}$DC，連結(jié)BG、D₁G，
CG∥EB，且CG=EB，∴四邊形EBGC是平行四邊形；
∴BG∥EC，
∴∠D₁BG就是異面直線BD₁與CE所成的角；
又△D₁BG中，D₁B=$\sqrt{3}$，
$\begin{array}{l}BG=\frac{{\sqrt{5}}}{2}，{D_1}G=\sqrt{{1^2}+（\frac{3}{2}{）^2}}=\frac{{\sqrt{13}}}{2}\\∴cos∠{D_1}BG=\frac{{{D_1}{B^2}+B{G^2}-{D_1}{G^2}}}{{2{D_1}B•BG}}=\frac{{3+\frac{5}{4}-\frac{13}{4}}}{{2×\frac{{\sqrt{15}}}{2}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{15}\end{array}$；
即異面直線BD₁與CE所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{15}}{15}$；
（2）如圖②所示；
過(guò)A₁作A₁H⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于H．連結(jié)AH，
在底面ABCD中，∵∠AHE=∠CBE=90°，∠AEH=∠CEB，
則△AHE∽△CBE，
∴$\frac{AH}{CB}$=$\frac{AE}{CE}$，且CE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，AE=$\frac{1}{2}$，
∴AH=$\frac{CB•AE}{CE}$=$\frac{1×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$；
在直角△A₁AH中，A₁A=1，AH=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，∴A₁H=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$；
設(shè)點(diǎn)A到平面A₁EC的距離為d，由三棱錐體積公式可得：
$\frac{1}{3}A{A_1}•{S_{△ACE}}=\frac{1}{3}d•{S_{△{A_1}CE}}$，
即$\frac{1}{3}•1•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•1=\frac{1}{3}d•\frac{1}{2}•\sqrt{\frac{1}{4}+1}•\frac{{\sqrt{6}}}{{\sqrt{5}}}$；
解得$d=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
即點(diǎn)A到平面A₁EC的距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系以及空間想象能力與計(jì)算能力，解題時(shí)找角是關(guān)鍵，是綜合性題目．