Question

6．設(shè)△ABC的∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積S=$\frac{1}{4}$（3b²+7c²-2a²），則cos∠A=[-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$]．

Answer 1

分析 由已知4S=3b²+7c²-2a²=2（b²+c²-a²）+b²+5c²，由此利用正弦定理和余弦定理得sinA$≥2cosA+2\sqrt{5}$，由此能求出cosA的取值范圍．

解答 解：△ABC的∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積S=$\frac{1}{4}$（3b²+7c²-2a²），
∴4S=3b²+7c²-2a²=2（b²+c²-a²）+b²+5c²，
∴2bcsinA=2bccosA+b²+5c²≥2bccosA+2$\sqrt{5}$bc，
∴sinA$≥2cosA+2\sqrt{5}$，
∵sinA∈[-1，1]，cosA∈[-1，1]，
∴-1-$\sqrt{5}$≤2cosA≤1-$\sqrt{5}$，
∴cosA∈[-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$]．
故答案為：[-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$]．

點評 本題考查角的余弦的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意正弦定理和余弦定理的合理運用．