Question

4．（1）已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）和橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的2倍，求雙曲線的方程．
（2）已知點P（6，8）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩焦點，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0．試求橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓方程求出橢圓離心率，則雙曲線離心率可求，再結合雙曲線與已知橢圓有相同焦點，聯(lián)立求出雙曲線的實半軸和虛半軸長，則雙曲線方程可求；
（2）由向量等式列式求出c，再由橢圓定義求出a，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求．

解答 解：（1）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，得a′²=16，b′²=9，c′²=a′²-b′²=7，
∴a′=4，c′=$\sqrt{7}$，故橢圓離心率為e₁=$\frac{c′}{a′}=\frac{\sqrt{7}}{4}$．
∵雙曲線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$有相同焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的2倍，
∴雙曲線的兩焦點為F₁（-$\sqrt{7}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{7}$，0），離心率e₂=$\frac{\sqrt{7}}{2}=\frac{c}{a}$，
∴a=2，b²=c²-a²=7-4=3．
故雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=0$，
∴-（c+6）（c-6）+64=0，即c=10，
∴F₁（-10，0），F(xiàn)₂（10，0），
則2a=|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{（6+10）^{2}+{8}^{2}}+\sqrt{（6-10）^{2}+{8}^{2}}=12\sqrt{5}$，
∴a=6$\sqrt{5}$，b²=80．
故橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{180}+\frac{{y}^{2}}{80}=1$．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質，考查了橢圓方程與雙曲線方程的求法，訓練了定義法在解題中的應用，是中檔題．