Question

18．已知圓C：x²+y²+Dx+Ex+3=0關(guān)于直線x+y-1=0對稱，圓心在第二象限，半徑為$\sqrt{2}$．
（1）求圓C的標準方程；
（2）過點A（3，5）向圓C引切線，求切線的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，求得圓心C（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$）在x+y-1=0上，且半徑r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-12}$=$\sqrt{2}$．聯(lián)解得D、E的值，即可得到圓C的標準方程；
（2）求出|AC|的長度，進行計算即可．

解答 解：（1）將圓C化成標準方程，得（x+$\frac{D}{2}$）²+（y+$\frac{E}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（D²+E²-12）
∴圓C的圓心坐標為（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），半徑r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-12}$
∵圓C關(guān)于直線x+y-1=0對稱，半徑為$\sqrt{2}$．
∴-$\frac{D}{2}$-$\frac{E}{2}$-1=0且$\frac{1}{2}$$\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-12}$=$\sqrt{2}$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{D=2}\\{E=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{D=-4}\\{E=2}\end{array}\right.$
結(jié)合圓心C在第二象限，得C的坐標為（-1，2），（舍去C（1，-2））
∴圓C的方程是（x+1）²+（y-2）²=2．
（2）∵C（-1，2），
∴|AC|=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴切線長為$\sqrt{|AC{|}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-2}$=$\sqrt{23}$．

點評 本題主要考查圓的標準方程的求解，根據(jù)圓的對稱性是解決本題的關(guān)鍵．