Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)a≥1時(shí)，求證：當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′（x）≥0，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出函的切線方程．
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，結(jié)合一元二次不等式的解法進(jìn)行求解證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-3x+lnx，
則f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$，
則f′（1）=2-3+1=0，f（1）=1-3+ln1=-2，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），
則y=f（x）在點(diǎn)（1，-2）處的切線方程為y+2=0，即y=-2．
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
則f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-（a+2）x+1}{x}$=$\frac{（2x-1）（ax-1）}{x}$，
若a≥1，則由f′（x）=0得x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{1}{a}$，
由若a=2，則f′（x）=$\frac{（2x-1）^{2}}{x}$≥0，此時(shí)當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′（x）≥0成立，
若a＞2，由f′（x）≥0得x≥$\frac{1}{2}$或0＜x≤$\frac{1}{a}$，即當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′（x）≥0成立，
若1≤a＜2，由f′（x）≥0得x≥$\frac{1}{a}$或0＜x≤$\frac{1}{2}$，即當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′（x）≥0成立，
綜上當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′（x）≥0恒成立．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)不等式的求解和判斷，利用一元二次不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．