Question

16．已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=|x²-ax|在區(qū)間[0，1]上的最大值記為g（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）若關(guān)于a的方程g（a）-3+b=0有兩解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論以確定函數(shù)的單調(diào)性及去絕對(duì)值號(hào)，從而確定g（a）的解析式；
（2）作函數(shù)g（x）與y=3-b的圖象，從而可得3-b＞1-（2$\sqrt{2}$-2）=3-2$\sqrt{2}$，從而解得．

解答 解：（1）①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=x²-ax在區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)，
∴g（a）=f（1）=1-a，
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
f（x）在[0，$\frac{a}{2}$）上是增函數(shù)，在[$\frac{a}{2}$，a）上是減函數(shù)，在[a，1]上是增函數(shù)；
而f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，f（1）=1-a，
∵f（$\frac{a}{2}$）-f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a-1，
故當(dāng)a∈（0，2$\sqrt{2}$-2]時(shí)，f（$\frac{a}{2}$）≤f（1），g（a）=f（1）=1-a，
當(dāng)a∈（2$\sqrt{2}$-2，1）時(shí)，f（$\frac{a}{2}$）＞f（1），g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
③當(dāng)1≤a＜2時(shí)，f（x）在[0，$\frac{a}{2}$）上是增函數(shù)，在[$\frac{a}{2}$，1]上是減函數(shù)，
故g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
④當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
故g（a）=f（1）=a-1，
綜上所述，
g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，a≤2\sqrt{2}-2}\\{\frac{{a}^{2}}{4}，2\sqrt{2}-2＜a＜2}\\{a-1，a≥2}\end{array}\right.$，
（2）作函數(shù)g（x）與y=3-b的圖象如下，
，
結(jié)合圖象可知，
3-b＞1-（2$\sqrt{2}$-2）=3-2$\sqrt{2}$，
故b＜2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．