Question

20．已知圓M過定點（2，0），圓心M在拋物線y²=4x上運動，若y軸截圓M所得的弦為AB，則|AB|等于（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 畫出圖形，可根據(jù)條件設$M（\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}，{y}_{0}）$，并可得出圓M的半徑，從而得出圓M的方程為$（x-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}）^{2}+（y-{y}_{0}）^{2}=（\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}-2）^{2}+{{y}_{0}}^{2}$，這樣令x=0便可求出y，即求出A，B點的坐標，根據(jù)A，B點的坐標便可得出|AB|．

解答 解：如圖，圓心M在拋物線y²=4x上；

∴設$M（\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}，{y}_{0}）$，r=$\sqrt{（\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}-2）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$；
∴圓M的方程為：$（x-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}）^{2}+（y-{y}_{0}）^{2}=（\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}-2）^{2}+{{y}_{0}}^{2}$；
令x=0，$\frac{{{y}_{0}}^{4}}{16}+（y-{y}_{0}）^{2}=\frac{{{y}_{0}}^{4}}{16}-{{y}_{0}}^{2}+4+{{y}_{0}}^{2}$；
∴$（y-{y}_{0}）^{2}=4$；
∴y=y₀±2；
∴|AB|=y₀+2-（y₀-2）=4．
故選：A．

點評 考查拋物線上的點和拋物線方程的關系，圓的半徑和圓心，以及圓的標準方程，直線和圓的交點的求法，坐標軸上的兩點的距離．