Question

3．已知函數(shù)f（x）=log_a（-x-1）+log_a（x+3），其中a＞0且a≠1．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及符合函數(shù)的值域的求法，即可得到答案，需要分類討論．

解答 解：（1）要使函數(shù)有意義，則$\left\{\begin{array}{l}{-x-1＞0}\\{x+3＞0}\end{array}\right.$．
解得：-3＜x＜-1．
即f（x）的為定義域（-3，-1），
（2）f（x）=log_a（-x-1）+log_a（x+3）=log_a[-（x+1）（x+3）]，
令t=-（x+1）（x+3），
∵-3＜x＜-1，
∴0＜t≤1，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，值域?yàn)閇0，+∞），
當(dāng)a＞1時(shí)，值域?yàn)椋?∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合考查，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．注意要對(duì)a進(jìn)行分類討論．