Question

1．一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，這個(gè)球的面積為$\frac{32π}{3}$，棱柱的面積是多少？

Answer 1

分析 由球的體積公式結(jié)合已知條件求出球的半徑是2，由此得到正三棱柱底面邊長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$，從而能求出正三棱柱的面積．

解答 解：∵一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，
這個(gè)球的面積為$\frac{32π}{3}$，
∴由球的體積公式：V=$\frac{4π{R}^{3}}{3}$=$\frac{32π}{3}$，
解得球的半徑是：R=2，
∴正三棱柱底面邊長(zhǎng)為$\frac{2}{tan30°}$×2=4$\sqrt{3}$，
∴正三棱柱的底面積：
S_底=$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4\sqrt{3}×sin60°$=12$\sqrt{3}$，
 三棱柱的高等于球的直徑：h=2R=4，
∴正三棱柱的面積：S=2S_底+3×（4$\sqrt{3}×4$）=72$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正棱柱的面積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意球的體積公式和正三棱柱的性質(zhì)的合理運(yùn)用．