Question

6．設(shè)f（x）是定義在整數(shù)集上的整值函數(shù)，滿(mǎn)足下列4條性質(zhì)：
（1）對(duì)任意x∈Z，0≤f（x）≤1996；
（2）對(duì)任意x∈Z，f（x+1997）=f（x）；
（3）對(duì)任意x，y∈Z，f（xy）=f（x）f（y）（mod1997）；
（4）f（2）=999．
已知這樣的函數(shù)存在且唯一，據(jù)此求滿(mǎn)足f（x）=1000的最小正整數(shù)x．

Answer 1

分析 對(duì)于任意的整數(shù)x和y，都符合f（xy）除以1997的余數(shù)與f（x）f（y）的乘積除以1997的余數(shù)相等，分類(lèi)討論，即可求出．

解答 解：考慮函數(shù)f（x）：當(dāng)x是1997的倍數(shù)時(shí)，f（x）=0；
當(dāng)x不是1997的倍數(shù)時(shí)，因?yàn)?997是素?cái)?shù)，x與1997互素，xy≡1（mod1997）有唯一的整數(shù)解y∈{1，2，…，1996}．
定義f（x）=y，
不難驗(yàn)證，上述數(shù)滿(mǎn)足函件條（1）～（4），所以它就是本題所說(shuō)唯一的函數(shù)f（x）．
當(dāng)100x≡1（mod1997）時(shí)，f（x）=1000，此時(shí)x≡$\frac{1+1997k}{1000}$≡$\frac{1+（200-3）k}{1000}$≡$\frac{1+（2000-3）×667}{1000}$=1334-2=1332（mod1997），
因而所求的最小整正數(shù)x=1332．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定義在整數(shù)集上的整值函數(shù)問(wèn)題，屬于難題．