Question

6．設(shè)f（x）是定義在整數(shù)集上的整值函數(shù)，滿足下列4條性質(zhì)：
（1）對任意x∈Z，0≤f（x）≤1996；
（2）對任意x∈Z，f（x+1997）=f（x）；
（3）對任意x，y∈Z，f（xy）=f（x）f（y）（mod1997）；
（4）f（2）=999．
已知這樣的函數(shù)存在且唯一，據(jù)此求滿足f（x）=1000的最小正整數(shù)x．

Answer 1

分析 對于任意的整數(shù)x和y，都符合f（xy）除以1997的余數(shù)與f（x）f（y）的乘積除以1997的余數(shù)相等，分類討論，即可求出．

解答 解：考慮函數(shù)f（x）：當x是1997的倍數(shù)時，f（x）=0；
當x不是1997的倍數(shù)時，因為1997是素數(shù)，x與1997互素，xy≡1（mod1997）有唯一的整數(shù)解y∈{1，2，…，1996}．
定義f（x）=y，
不難驗證，上述數(shù)滿足函件條（1）～（4），所以它就是本題所說唯一的函數(shù)f（x）．
當100x≡1（mod1997）時，f（x）=1000，此時x≡$\frac{1+1997k}{1000}$≡$\frac{1+（200-3）k}{1000}$≡$\frac{1+（2000-3）×667}{1000}$=1334-2=1332（mod1997），
因而所求的最小整正數(shù)x=1332．

點評 本題考查了定義在整數(shù)集上的整值函數(shù)問題，屬于難題．