Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P（x，y）為不等式$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤4}\\{x-y≤3}\\{x≥1}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域內(nèi)的一個動點，則z=$\frac{y+1}{x+1}$的最大值為（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義結(jié)合直線的斜率公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等組$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤4}\\{x-y≤3}\\{x≥1}\end{array}\right.$所對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=4}\\{x=1}\end{array}\right.$，可得B（1，$\frac{3}{2}$），
z=$\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到點B（1，$\frac{3}{2}$）的斜率，
由圖象知z≥k_AP或z≤k_PB，
PB的斜率k_PB=$\frac{\frac{3}{2}+1}{1+1}$=$\frac{5}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y=3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，即A（1，-2），
則k_AP=$\frac{-2+1}{1+1}$=$-\frac{1}{2}$，
即z≥-$\frac{1}{2}$且z≤$\frac{5}{4}$，
故選：B．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃以及直線斜率的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．