Question

3．已知函數(shù)f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）如果x∈[1，4]，求函數(shù)h（x）=（f（x）+1）g（x）的值域；
（2）求函數(shù)$M（x）=\frac{{f（x）+g（x）-|{f（x）-g（x）}|}}{2}$的最大值；
（3）如果對不等式$f（{x^2}）f（{\sqrt{x}}）＞kg（x）$中的任意x∈（4，8），不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出h（x）=-2log²₂x+4log₂x，可令log₂x=t，t∈[0，2]，從而得到二次函數(shù)y=-2（t-1）²+2，根據(jù)t的范圍即可得出y的范圍，即得出函數(shù)h（x）的值域；
（2）去絕對值號得到M（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x}&{0＜x≤2}\\{3-2lo{g}_{2}x}&{x＞2}\end{array}\right.$，然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出M（x）的單調(diào)性，根據(jù)M（x）的單調(diào)性即可得出M（x）的值域；
（3）根據(jù)$f（{x}^{2}）f（\sqrt{x}）＞kg（x）$可得到4log²₂x-15log₂x+9＞klog₂x，根據(jù)log₂x∈（2，3）便可得出$k＜4lo{g}_{2}x+\frac{9}{lo{g}_{2}x}-15$，可令log₂x=t，從而得到y(tǒng)=$4t+\frac{9}{t}-15$，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可判斷出該函數(shù)為增函數(shù)，從而可求出y的范圍，即得出k的取值范圍．

解答 解：（1）$h（x）=[4-2lo{g}_{2}x]lo{g}_{2}x=-2lo{{g}^{2}}_{2}x+4lo{g}_{2}x$；
x∈[1，4]，∴l(xiāng)og₂x∈[0，2]，令log₂x=t，t∈[0，2]，設(shè)y=h（x），則：
y=-2t²+4t=-2（t-1）²+2；
∴t=1時y取最大值2，t=0，或t=2時y取最小值0；
∴0≤y≤2；
即h（x）的值域?yàn)閇0，2]；
（2）$|f（x）-g（x）|=|3-3lo{g}_{2}x|=\left\{\begin{array}{l}{3-3lo{g}_{2}x}&{0＜x≤2}\\{3lo{g}_{2}x-3}&{x＞2}\end{array}\right.$；
∴$M（x）=\frac{3-lo{g}_{2}x-|f（x）-g（x）|}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x}&{0＜x≤2}\\{3-2lo{g}_{2}x}&{x＞2}\end{array}\right.$；
∴①0＜x≤2時，M（x）為增函數(shù)，∴M（x）≤M（2）=log₂2=1；
即M（x）≤1；
②x＞2時，M（x）為減函數(shù)，∴M（x）＜M（2）=3-2=1；
即M（x）＜1；
∴M（x）≤1；
∴M（x）的最大值為1；
（3）由$f（{x}^{2}）f（\sqrt{x}）＞kg（x）$得，$（3-2lo{g}_{2}{x}^{2}）（3-2lo{g}_{2}\sqrt{x}）＞klo{g}_{2}x$；
∴（3-4log₂x）（3-log₂x）＞klog₂x對于任意x∈（4，8）恒成立；
x∈（4，8）時，log₂x∈（2，3），log₂x＞0；
∴$k＜4lo{g}_{2}x+\frac{9}{lo{g}_{2}x}-15$，設(shè)y=$4lo{g}_{2}x+\frac{9}{lo{g}_{2}x}-15$，令log₂x=t，t∈（2，3），則：
$y=4t+\frac{9}{t}-15$，$y′=\frac{4{t}^{2}-9}{{t}^{2}}$；
∴t∈（2，3）時，y′＞0；
即y=4t$+\frac{9}{t}-15$在（2，3）上單調(diào)遞增；
∴$4•2+\frac{9}{2}-15＜y＜4•3+\frac{9}{3}-15$；
∴$-\frac{5}{2}＜k＜0$；
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為（$-\frac{5}{2}，0$）．

點(diǎn)評 考查函數(shù)值域的概念，換元法求函數(shù)的值域，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，配方求二次函數(shù)值域的方法，含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值號，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的值域．