Question

13．己知f（x）=2acos²x+bsinxcosx-1，f（0）=f（$\frac{π}{4}$）=1．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的最大值及f（x）取最大值時x的集合．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=1求得a=1，再由f（$\frac{π}{4}$）=1，求得b的值．
（2）由條件利用三角恒等變換求得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），由正弦函數(shù)的圖象和性質即可解得函數(shù)f（x）的最大值及f（x）取最大值時x的集合．．

解答 解：（1）由f（0）=1得，2a=2，
∴a=1．
再由f（$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{2}$+$\frac{2}$sin$\frac{π}{2}$=1，
可得b=2．
（2）f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1=cos2x+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
故當2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z時，即當x∈{x|x=k$π+\frac{π}{8}$，k∈Z}時，函數(shù)f（x）取得最大值為$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，三角函數(shù)的周期性與求法，正弦函數(shù)的增區(qū)間，屬于基礎題．