Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+1），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）比較4a_n與S_n的大�。�

Answer 1

分析 （1）由n=1時(shí)，a₁=S₁，n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）求出4a_n與S_n的，討論n為奇數(shù)和偶數(shù)，化簡整理，即可得到所求大小關(guān)系．

解答 解：（1）由S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+1），可得
n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$（1+a₁），
解得a₁=1，
n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（a_n+1）-$\frac{1}{2}$（a_n-1+1），
即有a_n=-a_n-1，
則a_n=a₁q^n-1=（-1）^n-1；
（2）4a_n=4•（-1）^n-1，S_n=$\frac{1}{2}$（1+（-1）^n-1），
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，4a_n=4，S_n=$\frac{1}{2}$×2=1，
即有4a_n＞S_n；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，4a_n=-4，S_n=$\frac{1}{2}$×0=0，
即有4a_n＜S_n．
綜上可得，n為奇數(shù)，4a_n＞S_n；
n為偶數(shù)時(shí)，4a_n＜S_n．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查數(shù)列的大小的比較，注意運(yùn)用討論的思想，屬于中檔題．