Question

18．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{2}$=0相切．
（1）求橢圓E的方程；
（2）H是橢圓E與y軸正半軸的交點，橢圓E上是否存在兩點M，N使得△HMN是以H為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得原點到直線x-y+$\sqrt{2}$=0的距離d=$\frac{|0-0+\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1，從而求得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1；
（2）設能構成等腰直角三角形HMN，其中H為（0，1），從而可設HM所在直線的方程為y=kx+1，（不妨設k＞0），則HN所在直線的方程為y=-$\frac{1}{k}$x+1，從而與橢圓的方程聯(lián)立以解出M，N的坐標，從而求|HM|，|HN|，從而解得．

解答 解：（1）原點到直線x-y+$\sqrt{2}$=0的距離d=$\frac{|0-0+\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1，
故b=1，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1；
故橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）設能構成等腰直角三角形HMN，其中H為（0，1），
由題意可知，直角邊HM，HN不可能垂直或平行于x軸，
故可設HM所在直線的方程為y=kx+1，（不妨設k＞0），
則HN所在直線的方程為y=-$\frac{1}{k}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$求得交點M（-$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$，-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+1），
∴|HM|=$\sqrt{（-\frac{8k}{1+4{k}^{2}}）^{2}+（-\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{8k\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
用-$\frac{1}{k}$代替上式中的k得，
|HN|=$\frac{8\sqrt{1+{k}^{2}}}{4+{k}^{2}}$，
由|HM|=|HN|得，k（4+k²）=1+4k²，
∴k³-4k²+4k-1=0⇒（k-1）（k²-3k+1）=0，
解得：k=1或k=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
當HM斜率k=1時，HN斜率-1；當HM斜率k=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$時，HN斜率$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$；
當HM斜率k=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$時，HN斜率$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$，
綜上述，符合條件的三角形有3個．

點評 本題考查軌跡方程的求解，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是求出HN、HM的長，利用|HM|=|HN|進行求解．