Question

14．已知點(diǎn)F₁（-3，0）和點(diǎn)F₂（3，0）是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)（0，4）在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，若|PF₁|=4，求以線段|PF₂|為直徑的圓的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=3，b=4，由a，b，c的關(guān)系，解得a=5，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）運(yùn)用橢圓的定義可得，|PF₁|+|PF₂|=2a=10，求出|PF₂|，再由圓的面積公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得c=3，b=4，則a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=5，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
（2）由橢圓的定義可得，|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
由|PF₁|=4，可得|PF₂|=6．
則以線段|PF₂|為直徑的圓的面積為π•3²=9π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，同時(shí)考查橢圓的定義的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．