Question

3．已知拋物線C的焦點(diǎn)F（0，-$\frac{p}{2}$）到準(zhǔn)線的距離為$\frac{1}{2}$，直線1過(guò)定點(diǎn)M（3，0）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）在拋物線C上是否存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線1對(duì)稱，若存在，求出1的斜率范圍，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線C的焦點(diǎn)F（0，-$\frac{p}{2}$）到準(zhǔn)線的距離為$\frac{1}{2}$，求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）由題意，直線的斜率存在，設(shè)方程為y=k（x-3），求出AB的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用點(diǎn)Q在拋物線的內(nèi)部，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線C的焦點(diǎn)F（0，-$\frac{p}{2}$）到準(zhǔn)線的距離為$\frac{1}{2}$，
∴p=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線C的方程x²=-y；
（2）由題意，直線的斜率存在，設(shè)方程為y=k（x-3），點(diǎn)A（x₁，-x₁²），B（x₂，-x₂²），關(guān)于直線l對(duì)稱，AB的中點(diǎn)為Q（x₀，y₀），則$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-（x₁+x₂）=-2x₀=-$\frac{1}{k}$，
∵Q（x₀，y₀）在直線l上，
∴y₀=k（x₀-3），∴y₀=$\frac{1}{2}$-3k．
∵點(diǎn)Q在拋物線的內(nèi)部，∴（$\frac{1}{2k}$）²＜3k-$\frac{1}{2}$．
即（k-$\frac{1}{2}$）（6k²+2k+1）＞0．
∴k＞$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．