Question

3．如圖為一簡(jiǎn)單組合體，其底面ABCD為正方形，棱PD與EC均垂直于底面ABCD，PD=2EC，N為PB的中點(diǎn)，求證：
（1）平面EBC∥平面PDA；
（2）NE⊥平面PDB．

Answer 1

分析 （1）由線面垂直性質(zhì)得EC∥PD，由四邊形ABCD為正方形，得BC∥AD，由此能證明平面EBC∥平面PDA．
（2）推導(dǎo)出四邊形NOCE為平行四邊形，從而AC⊥PD，再由DB⊥AC，能證明NE⊥平面PDB．

解答 證明：（1）∵PD⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，∴EC∥PD，
又PD?平面PDA，EC?平面PDA，
∴EC∥平面PDA，…（2分）
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC∥AD，又AD?平面PDA，BC?平面PDA，
∴BC∥平面PDA，…（4分）
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，EC∩BC=C，
∴平面EBC∥平面PDA．…（6分）
（2）設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連接NO，
∵四邊形ABCD為正方形，∴O為BD的中點(diǎn)，又N為PB的中點(diǎn)，
∴NO∥PD且NO=$\frac{1}{2}$PD，
又由（1）得EC∥PD，且$EC=\frac{1}{2}PD$，
∴NO∥EC且NO=EC，∴四邊形NOCE為平行四邊形，
∴NE∥OC，即NE∥A，C…（9分）
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD，
又DB⊥AC，PD∩BD=D
∴AC⊥平面PBD，又NE∥AC，
∴NE⊥平面PDB． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面平行、線面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．