Question

13．設函數(shù)f（x）=cos²x-asinx+2．
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若對于任意的實數(shù)x，都有f（x）≤5，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）把a=-1代入函數(shù)解析式，然后利用配方法求得函數(shù)值域；
（2）把對于任意的實數(shù)x，都有f（x）≤5，轉(zhuǎn)化為-sin²x-asinx-2≤0對于任意的實數(shù)x都成立，令t=sinx換元，可得t²+at+2≥0對任意t∈[-1，1]都成立然后結(jié)合三個二次列不等式組求得實數(shù)a的范圍．

解答 解：（1）當a=-1時，f（x）=cos²x+sinx+2=-sin²x+sinx+3=$-（sinx-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{13}{4}$．
∵-1≤sinx≤1，∴f（x）∈[1，$\frac{13}{4}$]；
（2）對于任意的實數(shù)x，都有f（x）≤5，則
cos²x-asinx+2≤5對于任意的實數(shù)x都成立，
即-sin²x-asinx-2≤0對于任意的實數(shù)x都成立，
令t=sinx（-1≤t≤1），
則t²+at+2≥0對任意t∈[-1，1]都成立．
構造函數(shù)g（t）=t²+at+2．
則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≤-1}\\{g（-1）≥0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≥1}\\{g（1）≥0}\end{array}\right.$②或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜\frac{a}{2}＜1}\\{△={a}^{2}-8≤0}\end{array}\right.$③．
解①得：2≤a≤3；
解②得：-3≤a≤-2；
解③得：-2＜a＜2．
綜上，實數(shù)a的范圍是[-3，3]．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值的求法，考查了利用換元法求函數(shù)的最值，訓練了利用“三個二次”求解與二次函數(shù)有關的恒成立問題，屬中檔題．