Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-$\frac{3}{{2}^{n}}$（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 S_n=2a_n-$\frac{3}{{2}^{n}}$（n∈N^*），當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2a₁-$\frac{3}{2}$，解得a₁．當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得：a_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$=2$（{a}_{n-1}-\frac{1}{{2}^{n-1}}）$，再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵S_n=2a_n-$\frac{3}{{2}^{n}}$（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2a₁-$\frac{3}{2}$，解得a₁=$\frac{3}{2}$．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-$\frac{3}{{2}^{n}}$-$（2{a}_{n-1}-\frac{3}{{2}^{n-1}}）$，
化為：a_n=2a_n-1$-\frac{3}{{2}^{n}}$，
變形為：a_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$=2$（{a}_{n-1}-\frac{1}{{2}^{n-1}}）$，
∴數(shù)列$\{{a}_{n}-\frac{1}{{2}^{n}}\}$是等比數(shù)列，首項為1，公比為2，
∴a_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$=2^n-1，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$+2^n-1．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．