Question

4．已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=$\frac{1}{4}$，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．求：
（1）數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用a₁=$\frac{1}{4}$且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列列出表達式計算可知數(shù)列{a_n}是首項、公差均為$\frac{1}{4}$的等差數(shù)列，進而計算可得結論；
（2）通過（1）裂項可知$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=16（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），進而并項相加即得結論．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則d≠0，
∵a₁=$\frac{1}{4}$，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
∴（$\frac{1}{4}$+d）²=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$+3d），
整理得：d（1+4d）=0，
解得：d=$\frac{1}{4}$或d=0（舍），
∴數(shù)列{a_n}是首項、公差均為$\frac{1}{4}$的等差數(shù)列，
∴其通項公式a_n=$\frac{n}{4}$；
（2）由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{16}{n（n+1）}$=16（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=16（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=16（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{16n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．