Question

13．某高中在一次數(shù)學(xué)考試中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績(jī)，按成績(jī)分組，得到的頻率分布表如圖所示

組號(hào)	分組	頻數(shù)	頻率
第1組	[75，90]	5	0.05
第2組	（90，105]	①	0.35
第3組	（105，120]	30	②
第4組	（120，135]	20	0.20
第5組	（135，150]	10	0.10
合計(jì)		100	1.00

（Ⅰ）求出頻率分布表中①、②位置相應(yīng)的數(shù)據(jù)；
（Ⅱ）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，學(xué)校決定在成績(jī)高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪測(cè)試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪測(cè)試？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行抽查，求第4組至少有一名學(xué)生被抽查的概率？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意利用頻率=$\frac{頻數(shù)}{總數(shù)}$，能求出頻率分布表中①、②位置相應(yīng)的數(shù)據(jù)．
（Ⅱ）因?yàn)榈?、4、5組共有60名學(xué)生，由此能求出利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，第3、4、5組分別抽取的人數(shù)．
（Ⅲ）利用列舉法求出從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)的基本事件總數(shù)和第4組的2位同學(xué)為b至少有一位同學(xué)入選包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出第4組至少有一名學(xué)生被抽查的概率．

解答 解：（Ⅰ）由題可知，第2組的頻數(shù)為0.35×100=35人   …（1分）
第3組的頻率為$\frac{30}{100}=0.30$…（2分）
（Ⅱ）因?yàn)榈?、4、5組共有60名學(xué)生，
所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為：
第3組：$\frac{30}{60}×6=3$人…（3分）
第4組：$\frac{20}{60}×6=2$人…（4分）
第5組：$\frac{10}{60}×6=1$人
所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人 …（5分）
（Ⅲ）設(shè)第3組的3位同學(xué)為A₁，A₂，A₃第4組的2位同學(xué)為B₁，B₂，第5組的l位同學(xué)為C₁
則從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有15種可能如下：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），
（A₁，B₂），（A₁，C₁），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，C₁），
（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），…（8分）
其中第4組的2位同學(xué)為b至少有一位同學(xué)入選的有：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），
（A₃，B₂），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁）9種可能 …（10分）
所以第4組至少有一名學(xué)生被抽查的概率為p=$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布表的應(yīng)用，考查分層抽樣的性質(zhì)，考查概率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．