Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，2S_n=3a_n-3（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列b_n=log₃a_n+a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時(shí)利用a_n=S_n-S_n-1計(jì)算可知a_n=3a_n-1，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知b_n=n+3ⁿ，進(jìn)而分組求和即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵2S_n=3a_n-3，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$（a_n-1）-$\frac{3}{2}$（a_n-1-1），
整理得：a_n=3a_n-1，
又∵2S₁=3a₁-3，即a₁=3，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列，
∴其通項(xiàng)公式a_n=3ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=log₃a_n+a_n=log₃3ⁿ+3ⁿ=n+3ⁿ，
∴T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．